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L'Accademia nasce nel 1782 con il nome di Società Italiana come ‘associazione' dei più illustri scienziati di ogni parte d'Italia, su iniziativa del matematico e ingegnere idraulico Antonio M. Lorgna. Tra i Soci fondatori, oltre a Lorgna, spiccano nomi insigni da Lazzaro Spallanzani ad Alessandro Volta, Lodovico Lagrange e Ruggiero Giuseppe Boscovich per citarne alcuni: in tutto quaranta scienziati da cui il nome corrente di «Società dei Quaranta» (oggi "Accademia dei XL").

La creazione della Società Italiana dà concretezza all'aspirazione patriottica degli scienziati italiani di veder rappresentata, almeno nella Scienza, l'Italia Unita, prima ancora dell'unificazione geografica e politica del Paese. Nello stesso anno della fondazione è pubblicato il primo numero delle Memorie accademiche: nella prefazione sono enunciati concetti patriottici dicendo che «lo svantaggio dell'Italia è l'avere ella le sue forze disunite» e che, per unirle, bisognava incominciare ad «associare le cognizioni e l'opera di tanti illustri Italiani separati».